题目描述

海滩上有一堆桃子，$n$ 只猴子来分。

每次操作：当前猴子将剩下的桃子平分成 $5$ 堆，发现总是多出 $1$ 个，于是先吃掉这 $1$ 个，然后拿走其中的一堆。

经过 $n$ 只猴子依次操作后，最后还剩 $m$ 个桃子。

给定 $n$ 和 $m$，请问最初至少有多少个桃子？

输入格式

第一行一个正整数 $t$，表示有 $t$ 组测试数据。

接下来 $t$ 行，每行两个正整数 $n$ 和 $m$。

输出格式

输出 $t$ 行，每行一个整数，表示对应每组数据的最初桃子数。

样例输入

3
1 5
2 1
3 3

样例输出

7
8
23

样例解释

第 1 组：$n=1, m=5$。

• 逆推：最后剩 $5$ 个，操作前为 $5 \div 4 \times 5 + 1 = 7$？不对。

让我重新想。

正向操作：假设当前有 $x$ 个，操作后剩下 $x - x/5 - 1 = 4x/5 - 1$。

逆推：操作后剩 $y$ 个，操作前应为 $(y + 1) \times 5 / 4$。

$n=1, m=5$：操作前 = $(5 + 1) \times 5 / 4 = 7.5$？不是整数！

这说明 $m=5$ 不是正确的剩余值。题目要求的是最少桃子数，所以我们需要找最后剩余那个数，使得逆推每一步都能整除。

等等，这里有问题。经典问题中，每次剩余 $m$ 是给定的，然后向前逆推。但如果 $m$ 不能使逆推整除，那就没有整数解。

让我重新设计问题，让 $m$ 作为最后剩余，保证可以逆推。

对于 $n=1, m=5$： 逆推一步：$(5 + 1) \times 5 / 4 = 30/4 = 7.5$！不是整数！

这说明 $m$ 必须满足某些条件才能使逆推每一步都得到整数。

对于 $n=1$，要使 $(m+1)\times5/4$ 是整数，$m+1$ 必须能被 $4$ 整除。 即 $m = 4k - 1$，其中 $k \ge 1$。

$m=3$：$(3+1)\times5/4 = 5$，最初 $5$ 个。 验证：$5 - 5/5 - 1 = 5 - 1 - 1 = 3$ ✓

所以当 $n=1, m=3$ 时，最初是 $5$。

我需要在题目中明确说 $m$ 是最后剩余，并保证有整数解。

让我换个设定，让问题更简单且适合 GESP 2：

每天吃掉一半多一个，第 $n$ 天还剩 $m$ 个。

正向：$x \to x - x/2 - 1 = x/2 - 1$ 逆推：$y \to (y + 1) \times 2$

这个更简单，不需要除以4，直接用乘法。

$n=1, m=5$：逆推 = $(5+1)\times2 = 12$ 验证：$12 - 12/2 - 1 = 12 - 6 - 1 = 5$ ✓

这样更干净！而且适合 GESP 2。

但"吃掉一半多一个"这个表述有点残忍（猴子贪吃）。让我换个故事：

母鸡下蛋：每天鸡舍里的鸡蛋数目增加一倍，然后主人拿走 1 个。第 $n$ 天结束时剩 $m$ 个。

正向：今天结束 = 昨天结束 × 2 - 1 逆推：昨天结束 = (今天结束 + 1) ÷ 2

或叫做：神奇存钱罐 之类的。

算了，让我直接用猴子吃桃的经典题材，但简化逆推公式：

每天吃一半加1个。第n天还剩m个。最初有多少？

逆推公式：$prev = (curr + 1) \times 2$

这就是单循环递推，不需要嵌套。

为了用到嵌套循环，我改成多组数据：

输入t组 (n, m)，每组逆推n次，输出初始值。

外层循环 t 组，内层循环 n 步逆推。

好，这样就有嵌套循环 + 简单递推了！<｜end▁of▁thinking｜>

<｜｜DSML｜｜tool_calls> <｜｜DSML｜｜invoke name="Write"> <｜｜DSML｜｜parameter name="content" string="true"># g2003 猴子分桃

题目描述

猴妈妈摘了一堆桃子，打算分 $n$ 天吃完。

猴妈妈的计划是：每天吃掉当前桃子数的一半多一个（如果当前有 $x$ 个，当天就吃掉 $\frac{x}{2}+1$ 个）。

已知第 $n$ 天结束后还剩 $m$ 个桃子，请问最初至少有多少个桃子？

数据保证每一步的桃子数都是偶数，即每次都能恰好分出一半。

输入格式

第一行一个正整数 $t$，表示有 $t$ 组测试数据。

接下来 $t$ 行，每行两个正整数 $n$ 和 $m$。

输出格式

输出 $t$ 行，每行一个整数，表示对应每组数据的最初桃子数。

样例输入

3
1 5
2 1
3 3

样例输出

12
6
30

样例解释

第 1 组：$n=1, m=5$。逆推：$(5 + 1) \times 2 = 12$。 验证：$12 - 12 \div 2 - 1 = 12 - 6 - 1 = 5$ ✓

第 2 组：$n=2, m=1$。逆推两步：$(1+1)\times2=4$，$(4+1)\times2=10$。 验证：$10 - 5 - 1 = 4$，$4 - 2 - 1 = 1$ ✓

数据范围

$1 \le t \le 10$，$1 \le n \le 20$，$1 \le m \le 1000$。